Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ. Скачать 0.82 Mb. Материал позволит лучше закрепить материал. Материал по математике по теме "Формулы стереометрии" Математика 11 класс. Как можно чаще применяйте формулы при решении задач, тренируйте гибкость мышления, чтобы на ЕГЭ по профильной математике справиться со всеми заданиями. При решении геометрических задач гиа и егэ по математике, например, № 4, 7, необходимо знать следующие формулы для нахождения площадей фигур.
Вся геометрия для егэ профиль
Единый государственный экзамен. Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ. Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете. Главная» Новости» Формулы для 3 задания егэ математика профиль 2024. При решении геометрических задач гиа и егэ по математике, например, № 4, 7, необходимо знать следующие формулы для нахождения площадей фигур.
Все формулы для стереометрии для профиля - 85 фото
Собрали в удобном мини-формате все формулы, которые пригодятся при подготовке к ЕГЭ. Для ЕГЭ по математике профиль. Стереометрия. Е. А. Ширяева (). lреб = 4(a+ b+ c) d2 =a2+ b2+ c2 1 Sбок = 2. Единый государственный экзамен.
Шпаргалка по математике - алгебра и геометрия
Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения. Единый государственный экзамен. В главе «Стереометрия, часть 1» приведены все формулы, по которым вы числяются объемы и площади поверхности трехмерных тел. Секретные приемы подготовки к ЕГЭ Формулы стереометрии и их применение в задачах Не забыли, как запоминать формулы? Единый государственный экзамен.
Вся геометрия для егэ профиль
Стереометрия ЕГЭ формулы объемов и площадей. Все формулы которые понадобятся на егэ по математике профиль На нашем сайте Вы найдете все необходимые формулы и примеры решения, которые помогут успешно. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ профиль. Работа по теме: 8. Основные формулы стереометрии — подборка шпаргалок по математике. подготовка к ЕГЭ. Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ 5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ.
5 задание Формулы стереометрии -2 - Курс ПРОФИЛЬ 2022 от Абеля / Математика ЕГЭ
Эффективное решение существует! Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия планиметрия и стереометрия.
Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями. Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
Объемные тела условно делят на многогранники состоят из нескольких многоугольников и поверхности вращения есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура. На вычисление объема это не влияет. В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.
Профиматематик 5 подписчиков Подписаться 3 задание ЕГЭ по профильной математике - это задачи по стереометрии, или простыми словами - задачи по геометрии с объёмными фигурами. В них нет ничего сложного, если разобраться с базовыми формулами по нахождению объёма и площади поверхности. Я репетитор и занимаюсь частными индивидуальными занятиями с учениками, чтобы заниматься со мной пиши?
Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.
Сфера, шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара.
Шпаргалка по математике - алгебра и геометрия
Вот они: Умея применять эти формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень вам уже будет решить легче. Но это далеко не все, что нужно знать, чтобы получить сто баллов за ЕГЭ. Тем не менее, придется применять знания, которые представлены ниже: Перейдем к свойствам степеней, ведь в них тоже есть, что запомнить. Свойства степеней Эти свойства нужно знать и для того, чтобы решить «базу», так что гуманитарии тоже могут обратить внимание на это: Как вы видите, запоминать не очень много, зато формулы не самые простые. Но есть еще сложнее, и сейчас узнаем, какие они.
Но это далеко не все, что нужно знать, чтобы получить сто баллов за ЕГЭ. Тем не менее, придется применять знания, которые представлены ниже: Перейдем к свойствам степеней, ведь в них тоже есть, что запомнить.
Свойства степеней Эти свойства нужно знать и для того, чтобы решить «базу», так что гуманитарии тоже могут обратить внимание на это: Как вы видите, запоминать не очень много, зато формулы не самые простые. Но есть еще сложнее, и сейчас узнаем, какие они. Для того, чтобы заработать баллы, нужно знать это: Но это еще не все.
Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O. Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания. Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны , то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка N. Иными словами, высота отрезок DN , опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку пересечения биссектрис основания. Высоты боковых граней апофемы равны. Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани апофему. Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней апофемы равны. Правильная пирамида Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие. Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Важное свойство: Пирамида и цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник необходимое и достаточное условие. Сфера и шар Определения: Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R. Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность или граница шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой. Радиусом , хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность — это линия, а круг — это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера — это оболочка, а шар — это ещё и все точки внутри этой оболочки. Плоскость, проходящая через центр сферы шара , называется диаметральной плоскостью. Сечение сферы шара диаметральной плоскостью называется большой окружностью большим кругом. Теоремы: Теорема 1 о сечении сферы плоскостью. Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы. Теорема 2 о сечении шара плоскостью. Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении. Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра на рис. A и B , можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов. Определения: Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие. Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Важное свойство: Пирамида и цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник необходимое и достаточное условие. Сфера и шар Определения: Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R. Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность или граница шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой. Радиусом , хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность — это линия, а круг — это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера — это оболочка, а шар — это ещё и все точки внутри этой оболочки. Плоскость, проходящая через центр сферы шара , называется диаметральной плоскостью. Сечение сферы шара диаметральной плоскостью называется большой окружностью большим кругом. Теоремы: Теорема 1 о сечении сферы плоскостью. Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы. Теорема 2 о сечении шара плоскостью. Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении. Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра на рис. A и B , можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов. Определения: Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы шара и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере шару. По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку — точку касания. Теоремы: Теорема 1 признак касательной плоскости к сфере. Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы. Теорема 2 о свойстве касательной плоскости к сфере. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Многогранники и сфера Определение: В стереометрии многогранник например, пирамида или призма называется вписанным в сферу , если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника пирамиды, призмы. Аналогично: многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника. Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников: Определение: Многогранник называется описанным около сферы шара , если сфера шар касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник. Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников: Объем и площадь поверхности шара Теоремы: Теорема 1 о площади сферы.
Вся геометрия для егэ профиль
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия планиметрия и стереометрия. Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями. Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения.
А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена. После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны. Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то: Перпендикуляр короче наклонных.
Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие: некоторые можно вывести из вышеуказанных, некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило. Но мне кажется, что пока этого и так много! Советую сначала хорошо отработать формулы, которые я перечислила в этой статье, и только потом браться за другие. Так вы не загрузите свою память и будете быстрее решать сложные задания по тригонометрии из ЕГЭ. Это, кстати, касается любой темы на экзамене по математике: а в ЕГЭ их очень много. Поэтому чтобы получить высокий балл, надо правильно и системно отработать их все. Именно так я и строю подготовку к ЕГЭ по математике вместе со своими учениками : строгая система подготовки — ключ к успеху на экзамене. Сначала мы разбираем простые темы и задания и учимся решать их самыми удобными способами — почти на автомате.
Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также: Абсолютно все рёбра куба равны между собой. Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением: Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба : Пирамида Определения: Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE. Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины. На чертеже это A. Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем — вершины основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O. Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания. Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны , то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка N. Иными словами, высота отрезок DN , опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку пересечения биссектрис основания. Высоты боковых граней апофемы равны. Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани апофему. Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней апофемы равны. Правильная пирамида Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие. Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Важное свойство: Пирамида и цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник необходимое и достаточное условие. Сфера и шар Определения: Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R. Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность или граница шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой. Радиусом , хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность — это линия, а круг — это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера — это оболочка, а шар — это ещё и все точки внутри этой оболочки. Плоскость, проходящая через центр сферы шара , называется диаметральной плоскостью. Сечение сферы шара диаметральной плоскостью называется большой окружностью большим кругом.
Формулы стереометрии. Общий обзор!
- Формулы по стереометрии
- Формулы справочника для ЕГЭ
- ЕГЭ 2024. Математика. Профиль. Разбор задания 3. Стереометрия.
- Шпаргалки и формулы по стереометрии — «Шпаргалка ЕГЭ»
Объемы фигур (ЕГЭ 2022)
Все типы 3 задание егэ математика профиль стереометрия Умскул - Артур Шарафиев 20. Вечно ступор то на пирамиде, то на цилиндре, какие-то непонятные коэффициенты в формулах. Откуда вообще берутся, как это все выучить? Тип 1. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту конус вписан в цилиндр. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.
Все эти формулы, которые пригодятся тебе на экзамене, преподаватели «Сотки» собрали в «Шпаргалке по алгебре». Скачать ее можно здесь. Кроме того в задачах могут встретиться прогрессии, о них подробнее мы рассказывали в статье.
Геометрия В этом разделе находятся все задачи, которые связаны с геометрическими фигурами. И для их решения тоже есть разные формулы. Как вычислить площадь различных фигур, какие теоремы и свойства помогут в решении задач, — всю необходимую для сдачи ЕГЭ информацию ты можешь найти в нашей «Шпаргалке по планиметрии». Тригонометрия Синусы и косинусы — одна из самых нелюбимых школьниками тем, но создатели экзамена должны проверить знания.
Геометрия шпаргалка ЕГЭ. Формулы для ЕГЭ.
Формулы для планиметрии ЕГЭ математика. Основные теоремы по геометрии для ЕГЭ. Основные формулы и теоремы в геометрии. Формулы площадей стереометрия ЕГЭ. Формулы стереометрии для ЕГЭ профиль. ЕГЭ 11 класс планиметрия формулы.
Формулы ЕГЭ математика логарифмы. Шпоры для ЕГЭ по математике профильный формулы. Формулы для ЕГЭ профиль шпаргалка. Шпаргалки на ЕГЭ математика 2023. Основные формулы Алгебра ЕГЭ. Таблица формулы физика 1 курс.
Основные формулы для сдачи ЕГЭ по математике. Таблица формул на ОГЭ по математике. Площади фигур формулы 9 класс геометрия ОГЭ. Формулы площадей геометрических фигур 9 класс. Основные формулы геометрии для ЕГЭ. Геометрия справочник в таблицах 7-11 классы.
Теория Планиметряи ЕГЭ. Основные теоремы по геометрии. Задачи планиметрия геометрия ЕГЭ. Формулы справочный материал ЕГЭ математика профиль. Справочные материалы профильная математика ЕГЭ 2023. Шпаргалки формул на ЕГЭ по профильной математике.
Справочный материал ЕГЭ математика профиль 2023. Справочный материал по математике ОГЭ 2022. Справочные материалы по математике ОГЭ 9 класс 2022. Справочный материал ЕГЭ математика профиль на экзамене. Шпаргалка планиметрия ЕГЭ профиль. Основные формулы планиметрии шпаргалка.
Формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень Алгебра. Формулы для 10 класса математика для ЕГЭ. Основные формулы по математике для ЕГЭ 2021 профильный уровень. Основы стереометрии формулы. Формулы стереометрии 10 класс. Формулы по стереометрии 9 класс.
Геометрия стереометрия формулы. Объемы формулы для ЕГЭ по математике 2022. Необходимый минимум формул для ЕГЭ по математике. Шпаргалки на ЕГЭ по математике 2023. Формулы для математики ЕГЭ профиль. Основные формулы по профильной математике для ЕГЭ.
Формула площади треугольника ЕГЭ. Основные формулы треугольника. Площади всех треугольников формулы. Формулы ЕГЭ планиметрия треугольники. Планиметрия формулы шпаргалка. Математика 10 класс формулы тригонометрии.
Тригонометрические формулы шпаргалка 9 класс ОГЭ. Основные тригонометрические формулы для ЕГЭ. Математика формулы тригонометрии для ЕГЭ. Математика профиль ЕГЭ шпора шпаргалка. Шпаргалки для ЕГЭ по математике 2022. Шпаргалки для ЕГЭ по математике база 2022.
Шпаргалки по алгебре 9 класс формулы. Формулы планиметрии для ЕГЭ профиль. Формулы по стереометрии 10 класс. Формулы по геометрии 10 класс стереометрия. Основные формулы геометрии 10 класс стереометрия. Формулы площадей геометрических фигур.
Площади фигур формулы таблица. Формулы для нахождения площадей всех фигур таблица. Формулы нахождения площади и объема геометрических фигур. Формулы площадей объемных фигур таблица. Объёмы фигур формулы таблица ЕГЭ.
Стереометрия шпаргалка для ЕГЭ. Стереометрия 11 класс формулы. Формулы по геометрии 11 класс ЕГЭ стереометрия. Формулы площадей для ЕГЭ профильная математика.
Формулы вычисления площадей и объемов геометрических фигур. Формулы объёмов и площадей фигур для ЕГЭ. Формулы для ЕГЭ профильная математика геометрия. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень геометрия. Геометрические формулы для ЕГЭ база математика. Предмет стереометрии. Шпаргалка по стереометрии. Стереометрия чертежи. Все фигуры стереометрии.
Стереометрия ЕГЭ 1 часть формулы. Формулы площадей геометрических фигур 11 класс. Все формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Формулы объемов геометрических фигур таблица ЕГЭ. Формулы площади и объема фигур 11 класс. Формулы объёмов фигур 11 класс. Многогранники формулы площадей и объемов. Формулы геометрии и стереометрии шпаргалка. Формулы площадей для ЕГЭ по математике профильный уровень.
Формулы объемов фигур для ЕГЭ шпаргалка. Вся теория по геометрии планиметрия таблица. Основные формулы геометрии таблица. Справочный материал по стереометрии. Формулы по геометрии для ЕГЭ. Формулы объемов многогранников и тел вращения. Формулы площадей и объемов всех фигур. Все формулы объемов и площадей фигур. Формулы площади и объёма геометрических фигур.
Объёмы фигур формулы ЕГЭ математика. Шпаргалка ЕГЭ формулы площадей и объемов стереометрических фигур. Площади геометрических фигур формулы таблица. Формулы нахождения площадей плоских фигур. Формулы площадей плоских фигур по геометрии. Формулы площадей всех геометрических фигур в таблице. Формулы площадей и объемов фигур. Формулы площадей и объемов геометрических фигур таблица. Формулы объема и площади геометрических фигур для ЕГЭ.
Формулы объемов Призмы и пирамиды. Стереометрия Призма формулы. Формулы площадей поверхности многогранников Призма. Площадь поверхности и объем многогранника. Формулы площадей геометрических фигур стереометрия. Формулы геометрия 11 класс. Формулы геометрия 11 класс ЕГЭ.