ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ. Формулы объема стереометрия. Стереометрия ЕГЭ профиль. Стереометрия 11 класс таблица. Uploaded by MV M. Формулы справочника для ЕГЭ. вся необходимая информация для решения 2 задачи ЕГЭ. Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ.
Вся стереометрия для егэ 2022 профиль
Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости. Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости. Скрещивающиеся прямые Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
Содержание Формулы для ЕГЭ по профильной математике.
Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Сфера, шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Тетраэдр Радиус описанной сферы тетраэдра. Радиус вписанной в тетраэдр сферы.
В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.
Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы. Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов. Будь в курсе!
Шпаргалка по задачам профильного ЕГЭ по математике
- формулы по стереометрии для егэ профиль | Дзен
- формулы по стереометрии для егэ профиль | Дзен
- Математика. ЕГЭ. Стереометрия 2
- Планиметрия все формулы для ЕГЭ -
- Теория по математике на тему "Формулы стереометрии"
Формулы объемов и площадей геометрических фигур
Это очень удобно тем более, что в профильном ЕГЭ по математике весь справочный материал состоит из 5-ти формул тригонометрии, из которых очень легко выводятся все остальные. Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую. С этой формулой косвенно связана другая ее нет в справочном материале , которая тоже легко дается школьникам: Тригонометрия: теория для ЕГЭ Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус: Тригонометрия: теория для ЕГЭ Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ Шаг 1 : Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла Шаг 1 А потом нужно подставить эти значения в формулу 6, или третья формула справочного материала Шаг 2 : Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла Шаг 2 Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Сейчас вообще ничего удивительного не будет.
На экзамене профильного уровня, в отличие от базового, не выдаются справочные материалы — выпускникам не предоставляются формулы, необходимые для решения задач. Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. Шаг 2. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями. Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т.
Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. Найдите точку максимума функции f x. Найдите точку минимума функции f x. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Ответ выразите в Омах. Имеется два сплава. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Найдите абсциссу точки В. Найдите абсциссу точки B. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Формулы стереометрии для егэ профиль - фото сборник
А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена. После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т.
Шаг 2. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.
Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах. Содержание Формулы для ЕГЭ по профильной математике.
Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. Шаг 2. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями. Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная.
Шпаргалки и формулы по стереометрии
Все формулы по физике и математике. Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. А здесь собрали самые важные формулы для ЕГЭ по математике (профиль), чтобы готовиться к экзамену было легче.
Все формулы для стереометрии для профиля - 85 фото
Формулы площадей фигур стереометрия. Формулы площадей всех фигур для ЕГЭ. Основные формулы стереометрии. Формулы площадей стереометрия ЕГЭ. Площади фигур стереометрия формулы таблица. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ 1 часть. Шпора по стереометрии ЕГЭ фигуры.
Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. Формулы стереометрии для ЕГЭ. Формулы объемов фигур стереометрия. Стереометрия Базовая математика формулы. Формулы профильная математика ЕГЭ стереометрия. Формулы ЕГЭ математика стереометрия.
Объёмы фигур формулы таблица шпаргалка. Объемы и площади фигур стереометрия. Формулы фигур стереометрии по ЕГЭ. Формулы из стереометрии для ЕГЭ. Стереометрия 10 класс формулы. Площади фигур стереометрия.
Стереометрия формулы. Стереометрия формулы площадей и объемов ЕГЭ. Формулы по геометрии 10 класс стереометрия. Планиметрия и стереометрия формулы. Основные формулы стереометрии для ЕГЭ. Формулы объёмов и площадей поверхности стереометрических фигур.
Формулы площадей всех фигур стереометрия. Формулы по геометрии 11 класс стереометрия. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ профиль. Ыормулыпо стереометрии. Формулы объёмных фигур стереометрия. Стереометрия формулы площадей и объемов шпаргалка.
Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ. Основные формулы по стереометрии. Формулы по стереометрии 10 класс. Формулы площадей фигур по стереометрии. Основные формулы геометрии 10 класс стереометрия. Основные формулы в стереометрии.
Формулы стереометрии таблица. Теория по стереометрии формулы. Площади поверхности фигур стереометрия. Площади фигур стереометрия ЕГЭ. Формулы стереометрии шпаргалка. Стереометрия стенд.
Формулы по стереометрии. Наглядные пособия для кабинета математики. Формулы объёма геометрических фигур 11 класс ЕГЭ. Формулы площадей и объемов фигур по стереометрии.
Параллелепипед называется наклонным , если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники то есть кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками , называется прямоугольным. Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда : Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также: Абсолютно все рёбра куба равны между собой. Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением: Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба : Пирамида Определения: Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE. Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины. На чертеже это A. Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем — вершины основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.
Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O.
Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания. Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны , то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка N. Иными словами, высота отрезок DN , опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку пересечения биссектрис основания. Высоты боковых граней апофемы равны.
Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани апофему. Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней апофемы равны. Правильная пирамида Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.
Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию.
В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды.
Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.
Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы.
Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид.
Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие. Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу.
При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды.
Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Важное свойство: Пирамида и цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник необходимое и достаточное условие. Сфера и шар Определения: Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.
Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка.
Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R. Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность или граница шара называется сферой.
Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой. Радиусом , хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью.
Объемные тела условно делят на многогранники состоят из нескольких многоугольников и поверхности вращения есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура. На вычисление объема это не влияет. В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.
Как будут распределять баллы Задания части первой КИМов по математике близки к тестам ЕГЭ базового уровня, поэтому высокого балла на них набрать невозможно. Баллы за каждое задание по математике профильного уровня распределились так: Длительность экзамена и правила поведения на ЕГЭ Для выполнения экзаменационной работы отведено 3 часа 55 минут 235 минут. В это время ученик не должен: За подобные действия экзаменующегося могут выдворить из аудитории. На государственный экзамен по математике разрешено приносить с собой только линейку, остальные материалы вам выдадут непосредственно перед ЕГЭ. Справочные материалы выдаются на месте. Эффективная подготовка — это решение онлайн тестов по математике 2022. Выбирай тренировочные задания и получай максимальный балл! Формулы стереометрии. Общий обзор! В этой статье общий обзор формул для решения задач по стереометрии. Нужно сказать, что задачи по стереометрии довольно разнообразны, но они несложны. Это задания на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов. Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся. Остальные требуют небольших усилий, наличия знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассматривать все эти задачи, не пропустите! Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Ещё раз подчеркну, что сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия максимум. Важно «увидеть» какую формулу необходимо применить, только и всего.
Формулы для ЕГЭ по математике профиль
В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. картинка: Запоминаем ВСЕ формулы по стереометрии за 5 мин! №2 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ. Канал видеоролика: Профильная математика ЕГЭ Умскул.
Главные формулы для ЕГЭ по профильной математике
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ. это задачи по стереометрии, или простыми словами - задачи по геометрии с объёмными фигурами. Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. Осипов П.Г.~ ЕГЭ по математике ~ Формулы многогранников. Стереометрия.
Формулы для ЕГЭ по математике профиль
Кроме того в задачах могут встретиться прогрессии, о них подробнее мы рассказывали в статье. Геометрия В этом разделе находятся все задачи, которые связаны с геометрическими фигурами. И для их решения тоже есть разные формулы. Как вычислить площадь различных фигур, какие теоремы и свойства помогут в решении задач, — всю необходимую для сдачи ЕГЭ информацию ты можешь найти в нашей «Шпаргалке по планиметрии». Тригонометрия Синусы и косинусы — одна из самых нелюбимых школьниками тем, но создатели экзамена должны проверить знания. Поэтому и формулы тригонометрии стоит изучить. Все нужные формулы для решения задач собрали в «Шпаргалке по тригонометрии».
Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют.
Есть и другие: некоторые можно вывести из вышеуказанных, некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило. Но мне кажется, что пока этого и так много! Советую сначала хорошо отработать формулы, которые я перечислила в этой статье, и только потом браться за другие. Так вы не загрузите свою память и будете быстрее решать сложные задания по тригонометрии из ЕГЭ. Это, кстати, касается любой темы на экзамене по математике: а в ЕГЭ их очень много. Поэтому чтобы получить высокий балл, надо правильно и системно отработать их все.
Содержание Формулы для ЕГЭ по профильной математике.
Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Теорема 6 о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Теорема 7 о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину: Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач. Теорема 1 о трех перпендикулярах : Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение: Теорема 2 о трех перпендикулярах : Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так: Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то: две наклонные, имеющие равные проекции, равны; из двух наклонных больше та, проекция которой больше. Определения расстояний объектами в пространстве: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой. Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие кроме ортогональной проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией как на чертеже. Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости. Определения: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру. Таким образом, линейный угол двугранного угла — это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию: Определения: Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника. Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку. Теоремы: Теорема 1 признак перпендикулярности плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости. Точки M и M 1 называются симметричными относительно прямой l , если прямая l MM 1 и перпендикулярна ему. Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани — равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. Призма Определения: Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Основания — это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. Боковые грани — все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. Боковая поверхность — объединение боковых граней. Полная поверхность — объединение оснований и боковой поверхности. Боковые ребра — общие стороны боковых граней. Высота — отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR. Диагональ — отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP. Диагональная плоскость — плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость — плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани. Диагональное сечение — пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP. Перпендикулярное ортогональное сечение — пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру. Свойства и формулы для призмы: Основания призмы являются равными многоугольниками. Боковые грани призмы являются параллелограммами. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания: где: S осн — площадь основания на чертеже это, например, ABCDE , h — высота на чертеже это MN. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания: Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A 2 B 2 C 2 D 2 E 2. Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах. Перпендикулярное ортогональное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: где: S сеч — площадь перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра на чертеже ниже это, например, AA 1 или BB 1 и так далее. Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: где: P сеч — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра. Виды призм в стереометрии: Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной изображены выше. Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани — параллелограммы. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания. Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра или, в данном случае, высоту призмы : где: P осн — периметр основания прямой призмы, l — длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте h. Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник то есть такой, у которого все стороны и все углы равны между собой , а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм: Свойства правильной призмы: Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны между собой. Правильная призма является прямой. Определение: Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед — это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда. Другие свойства и определения: Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими , а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда — прямоугольники а основания — произвольные параллелограммы , то он называется прямым в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда. Параллелепипед называется наклонным , если не все его боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники то есть кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками , называется прямоугольным. Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда : Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также: Абсолютно все рёбра куба равны между собой. Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением: Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба : Пирамида Определения: Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE. Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины. На чертеже это A. Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем — вершины основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O. Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания. Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Главные формулы для ЕГЭ по профильной математике
2: Все Формулы Стереометрии Для Задания № 2, Профильная Математика Егэ 2023, Умскул. Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ. Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. Мой канал в Telegram: +nv_AT3GKIq0zNTBiХочешь готовиться к ЕГЭ со мной? ЕГЭ Профиль 2022. Работа по теме: 8. Основные формулы стереометрии — подборка шпаргалок по математике. Основные формулы стереометрии. Формулы площадей стереометрия ЕГЭ.